Boy'sche Fläche
Die reelle projektive Ebene RP2RP2 besteht aus den eindimensionalen Unterräumen des R3R3 als Punkten und den zweidimensionalen Unterräumen des R3R3 als Geraden. Man kann sich RP2RP2vorstellen, indem man auf der Einheitssphäre S2:={x∈R3:∥x∥=1}S2:={x∈R3:‖x‖=1} gegenüber liegende Punkte miteinander identifiziert, x∼−xx∼−x. Die resultierende Quotientenmenge S2/∼S2/∼ ist nicht-orientierbar. Wie alle nicht-orientierbaren Flächen (vgl. z.B. Kleinsche Flasche), so kann auch RP2RP2 nicht in den R3R3 eingebettet werden. Die Boy'sche Fläche stellt jedoch immerhin eine Immersion RP2→R3RP2→R3 dar. Im Jahr 1901 fand der Mathematiker Werner Boy die nach ihm benannte Fläche. Erst 1978 lieferte Bernard Morin eine erste Parametrisierung der Fläche. Überblick: |
Links:
- Boy'sche Fläche (Wikipedia)
- Weitere Immersionen RP2→R3RP2→R3 (Universität Wien, S. 73 ff.)
- siehe auch: Kreuzhaube sowie Steiner'sche Fläche
- Bastelanleitung (Universität Toulouse)
- Visualisierung (YouTube)
Weiterführende Literatur:
- Boy, W. Über die Curvatura integra und die Topologie geschlossener Flächen. Mathematische Annalen, Volume 57, Issue 2, pp. 151-184, 1903
- Carter, J.S. A further generalization of Boy's surface. Houston Journal of Mathematics, Volume 12, No. 1, pp. 11-31, 1986
- Apéry, F. The Boy Surface. Models of the Real Projective Plane, Vieweg + Teubner, 1987
- Beutelspacher, A. und Rosenbaum, U. Projective Geometry: from foundations to applications. Cambridge University Press, 1998
- online verfügbar
- Kossowski, M. A generalization of Boy's theorem for surfaces in Euclidean 3-space. C. R. Math. Acad. Sci. Soc. R. Can., Volume 23, No. 3, pp. 65-70, 2001
- Goodman, S. und Kossowski, M. Immersions of the projective plane with one triple point. Differential Geometry and its Applications, Volume 27, Issue 4, pp. 527-542, 2009